Proporció i escales

La paraula geometria ve del grec i significa “mesura de la Terra”.

El Teorema de Tales:

Tales de Milet (segles VII-VI aC), matemàtic i astrònom, considerat com el pare de la filosofia grega. Va introduir a Grècia els coneixements que va aprendre dels sacerdots egipcis.
Se li atribueix el mètode per a calcular l’altura d’un objecte a partir de la seva ombra. 

Segons el teorema de Tales, si dues rectes qualsevol (R i S) són tallades per una sèrie de rectes paral·leles, els segments determinats en una de les rectes són proporcionals als segments determinats corresponents en l’altra recta.

Teorema de Tales

Teorema de Tales

Imagina que a’ = 1 i b’ = 3, es diu que la relació és 1:3

a’ = 1

b’ = 3

Per tant si a = 4, b serà tres cops 4, és a dir, b = 4 x 3 = 12.

Teorema primer de Tales:

Si en un triàngle es traça una línia paral·lela a cualsevol dels seus costats, s’obté un triàngle que es semblant al triángulo donat.

Primer Teorema de Tales

Primer Teorema de Tales

Primer Teorema de Tales

D’aquesta manera s’ha pogut mesurar les ombres d’objectes grans com les piràmides, és a dir, sabent l’alçada d’un objecte i la seva ombra, podem saber l’alçada d’un altre objecte si coneixem la seva ombra, en el di buix l’ombra de A és B, i l’ombra de D és C:

Thales Theorem

Thales Theorem

Thales Theorem

Thales Theorem

Teorema tales - mesura piramides

Teorema tales – mesura piramides

Enenglish this Theorem is called: Intercept Theorem

Suppose S is the intersection point of two lines and A, B are the intersections of the first line with the two parallels, such that B is further away from S than A, and similarly C, D are the intersections of the second line with the two parallels such that D is further away from S than C.

Intercept Theorem

Intercept Theorem

1. The ratios of any two segments on the first line equals the ratios of the according segments on the second line:

formula3

formula1

formula2

 

2. The ratio of the two segments on the same line starting at S equals the ratio of the segments on the parallels:

formula4

 

 

Measuring the Width of a River:

The intercept theorem can be used to determine a distance that cannot be measured directly, such as the width of a river or a lake, the height of tall buildings or similar. The graphic to the right illustrates measuring the width of a river. The segments |CF|, |CA|, |FE| are measured and used to compute the wanted distance:
formula5

 

Measuring the Width of a River

Measuring the Width of a River

Dividir un segment en X parts igual:

Dividir un segment segons el Teorema de Tales

Dividir un segment en parts iguals

1. Des de l’extrem A es traça una recta qualsevol.

2. En aquesta nova recta, utilitzant el compàs realitzem tants segments com el número de parts que s’hagi de dividir el segment AB, en aquest cas 3.

3. Unirem l’última divisió (3) amb l’extremB del segment.

4. Traçarem paral·leles al segment 3passant pels punts 2 i 1. Ja has dividit el segment AB en tres parts iguals.

http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/mem2001/dibujotecnico/Construcciones%20de%20dibujo%20tecnico/msp_cb.htm

Dividir un segment en parts proporcionals a un segment donat:

Tenim un segment AB i volem dividir-lo en segments proporcionals a’ i b’:

Dividir un segment en parts proporcionals

Dividir un segment en parts proporcionals

 

  1. Des de l’extrem A es traça una recta qualsevol.

2. A partir del punt A es determinen en la semirecta dos segments, a i b. Així s’obtenen els punts 1 i 2.

3. S’uneix el punt 2 amb l’extrem B del segment i es traça una paral·lela per la divisió 1.

Dividing a line segment in a given ratio:

To divide an arbitrary line segment |AB|in a m + n ratio, draw an arbitrary angle in A with|AB| as one leg. On the other leg construct m + n equidistant points, then draw the line through the last point and B and parallel line through the mth point. This parallel line divides |AB| in the desired ratio. The graphic to the right shows the partition of a line sgement |AB|in a 5 : 3 ratio.

Dividing segment

Dividing segment

Escales:

És la relació entre les mesures lineals representades i les mesures lineals reals de l’object, s’indica amb un denominador o dos punts, és a dir E = 1/50 o E=1:50:

Escala = mesura del dibuix / mesura real

Escala = mesura del dibuix :  mesura real

L’escala ens indica el nombre de  vegades el dibuix ha estat ampliat o reduït respecte a la realitat. Hi ha 3 tipus d’escala: escala natural, escala d’ampliació i escala de reducció.

Escales

Escales

Dibuix d’una forma poligonal a escala:

Per a dibuixar una figura a una escala determinada, realitzarem les coordenades de cada vèrtex i aplicarem la reducció o l’ampliació a cadascuna, segons l’escala, utilitzant el Teorema de Tales.

Aquí tens un exemple, el polígon està dibuixada a una escala de 5/3 respecte de la figura real.

1. Primer dibuixarem  dues coordenades.

2. Es projecte cada vèrtex del polígon a les dues coordenades.

2. Des del centre de les coordenades es tracen dos rectes qualsevol.

3. S’aplica l’ampliació 5/3 (per aquest exemple) utilitzant el Teorema de Tales.

4. Es realitzen totes les paral·leles de tots els punts de les coordenades.

5. Amb el compàs ja pots dibuixar les noves coordenades per al dibuix d’ampliació.

Escala utilitzant Teorema de Tales

Escala utilitzant Teorema de Tales

 

Escala utilitzant Teorema de Tales

Escala utilitzant Teorema de Tales

Com escollir l’escala correctament:

Si estem dibuixant en un A4 sabem que el dibuix no pot fer més d’amplada = 210 mm o longitud = 297 mm.

Si per exemple l’objecte real té una longitud de 1188 cm i una amplada de 420 cm, llavors hem de calcular les dues escales i escollir la més petita:

1. Dividir la longitud del format A4 per la longitud de l’objecte real:

297 / 1188 = 0,25

2. Dividir l’amplada del full de paper per l’amplada de l’objecte real:

420 / 210 = 0,5

En aquest cas, l’escala apropiada és la més petita E = 0,25. És l’escala que garanteix que cap en el full, si multipliquem per 100, l’escala es pot expressar com E = 25 / 100, què és el mateix que E = 1 / 4.

Anuncis